Calcolo Esempi

$s (x) = - x^{2} - 20 x - 19$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 20 x - 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$- 2 x - 20 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x - 20 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 2 x - 20$ e $0$ .

$- 2 x - 20$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x - 20$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$s'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$s'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 20)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$s'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$s'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 20)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20$ rispetto a $x$ è $0$ .

$s'' (x) = - 2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$s'' (x) = - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x - 20 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 20 x - 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$- 2 x - 20 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x - 20 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 2 x - 20$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x - 20$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $s (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x - 20$ .

$- 2 x - 20$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x - 20 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x - 20 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = 20$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 20$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 20$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{20}{- 2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{20}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{20}{- 2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $20$ per $- 2$ .

$x = - 10$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 10$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2$

Passaggio 9

$x = - 10$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 10$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = - 10$ .

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Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$s (- 10) = - {(- 10)}^{2} - 20 \cdot - 10 - 19$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$s (- 10) = - 1 \cdot 100 - 20 \cdot - 10 - 19$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$s (- 10) = - 100 - 20 \cdot - 10 - 19$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 20$ per $- 10$ .

$s (- 10) = - 100 + 200 - 19$

Passaggio 10.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 10.2.2.1

Somma $- 100$ e $200$ .

$s (- 10) = 100 - 19$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $19$ da $100$ .

$s (- 10) = 81$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $81$ .

$y = 81$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $s (x) = - x^{2} - 20 x - 19$ .

$(- 10, 81)$ è un massimo locale

Passaggio 12