Calcolo Esempi

$h (t) = 2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 25.9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 25.9 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$6 t^{2} - 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 t^{2} - 25.9 (2 t) + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 25.9$ .

$6 t^{2} - 51.8 t + \frac{d}{d t} [1110]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $1110$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1110$ rispetto a $t$ è $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $6 t^{2} - 51.8 t$ e $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t^{2} - 51.8 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 51.8 t]$ .

$h'' (t) = \frac{d}{d t} (6 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{2}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$h'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$h'' (t) = 6 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$h'' (t) = 12 t + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 51.8 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 51.8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 51.8 t$ rispetto a $t$ è $- 51.8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8 \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 51.8$ per $1$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 t^{2} - 51.8 t = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (2 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$f' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (t) = 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (t) = 6 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 25.9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 25.9 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 25.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 25.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 25.9$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t + \frac{d}{d t} (1110)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1110$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1110$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $6 t^{2} - 51.8 t$ e $0$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (t)$ rispetto a $t$ è $6 t^{2} - 51.8 t$ .

$6 t^{2} - 51.8 t$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 t^{2} - 51.8 t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $0.2 t$ da $6 t^{2} - 51.8 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $0.2 t$ da $6 t^{2}$ .

$0.2 t (30 t) - 51.8 t = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $0.2 t$ da $- 51.8 t$ .

$0.2 t (30 t) + 0.2 t (- 259) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $0.2 t$ da $0.2 t (30 t) + 0.2 t (- 259)$ .

$0.2 t (30 t - 259) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$30 t - 259 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $30 t - 259$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $30 t - 259$ uguale a $0$ .

$30 t - 259 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $30 t - 259 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $259$ a entrambi i lati dell'equazione.

$30 t = 259$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $30$ ciascun termine in $30 t = 259$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $30$ ciascun termine in $30 t = 259$ .

$\frac{30 t}{30} = \frac{259}{30}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{30 t}{30} = \frac{259}{30}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{259}{30}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $0.2 t (30 t - 259) = 0$ vera.

$t = 0, \frac{259}{30}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 0, \frac{259}{30}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (0) - 51.8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 51.8$

Passaggio 9.2

Sottrai $51.8$ da $0$ .

$- 51.8$

Passaggio 10

$t = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = 2 {(0)}^{3} - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 2 \cdot 0 - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$h (0) = 0 - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 0 - 25.9 \cdot 0 + 1110$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 25.9$ per $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 1110$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$h (0) = 0 + 1110$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $1110$ .

$h (0) = 1110$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1110$ .

$y = 1110$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{259}{30}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (\frac{259}{30}) - 51.8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 (2) \frac{259}{30} - 51.8$

Passaggio 13.1.1.2

Scomponi $6$ da $30$ .

$6 \cdot 2 \frac{259}{6 \cdot 5} - 51.8$

Passaggio 13.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot 2 \frac{259}{6 \cdot 5} - 51.8$

Passaggio 13.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{259}{5}) - 51.8$

Passaggio 13.1.2

$2$ e $\frac{259}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 259}{5} - 51.8$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $2$ per $259$ .

$\frac{518}{5} - 51.8$

Passaggio 13.2

Per scrivere $- 51.8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{518}{5} - 51.8 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 13.3

$- 51.8$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{518}{5} + \frac{- 51.8 \cdot 5}{5}$

Passaggio 13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{518 - 51.8 \cdot 5}{5}$

Passaggio 13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Moltiplica $- 51.8$ per $5$ .

$\frac{518 - 259}{5}$

Passaggio 13.5.2

Sottrai $259$ da $518$ .

$\frac{259}{5}$

Passaggio 13.6

Elimina il fattore comune di $259$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Riscrivi $259$ come $1 (259)$ .

$\frac{1 (259)}{5}$

Passaggio 13.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.2.1

Riscrivi $5$ come $1 (5)$ .

$\frac{1 \cdot 259}{1 \cdot 5}$

Passaggio 13.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 \cdot 259}{1 \cdot 5}$

Passaggio 13.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{259}{5}$

Passaggio 14

$t = \frac{259}{30}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{259}{30}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = \frac{259}{30}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{259}{30}$ nell'espressione.

$h (\frac{259}{30}) = 2 {(\frac{259}{30})}^{3} - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{259}{30}$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{259^{3}}{30^{3}}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $259$ alla potenza di $3$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{30^{3}}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $30$ alla potenza di $3$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{27000}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $27000$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{2 (13500)}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{2 \cdot 13500}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Passaggio 15.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{259}{30}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 \frac{259^{2}}{30^{2}} + 1110$

Passaggio 15.2.1.6

Eleva $259$ alla potenza di $2$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 \frac{67081}{30^{2}} + 1110$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 (\frac{67081}{900}) + 1110$

Passaggio 15.2.1.8

Moltiplica $- 25.9 (\frac{67081}{900})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

$- 25.9$ e $\frac{67081}{900}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 25.9 \cdot 67081}{900} + 1110$

Passaggio 15.2.1.8.2

Moltiplica $- 25.9$ per $67081$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1737397.9}{900} + 1110$

Passaggio 15.2.1.9

Dividi $- 1737397.9$ per $900$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 1930.442\overline{1} + 1110$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Scrivi $- 1930.442\overline{1}$ come una frazione con denominatore $1$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1}}{1} + 1110$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1930.442\overline{1}}{1}$ per $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1}}{1} \cdot \frac{13500}{13500} + 1110$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1930.442\overline{1}}{1}$ per $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + 1110$

Passaggio 15.2.2.4

Scrivi $1110$ come una frazione con denominatore $1$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110}{1}$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{1110}{1}$ per $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110}{1} \cdot \frac{13500}{13500}$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $\frac{1110}{1}$ per $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110 \cdot 13500}{13500}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 1930.442\overline{1} \cdot 13500 + 1110 \cdot 13500}{13500}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 1930.442\overline{1}$ per $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 26060968.5 + 1110 \cdot 13500}{13500}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $1110$ per $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 26060968.5 + 14985000}{13500}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Sottrai $26060968.5$ da $17373979$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{- 8686989.5 + 14985000}{13500}$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $- 8686989.5$ e $14985000$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{6298010.5}{13500}$

Passaggio 15.2.5.3

Dividi $6298010.5$ per $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = 466.519\overline{296}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $466.519\overline{296}$ .

$y = 466.519\overline{296}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $h (t) = 2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ .

$(0, 1110)$ è un massimo locale

$(\frac{259}{30}, 466.519\overline{296})$ è un minimo locale

Passaggio 17