Calcolo Esempi

$H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$10 t^{9} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{5}{6}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{5}{6} t^{12}$ rispetto a $t$ è $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} (12 t^{11})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) t^{11}$

Passaggio 1.2.4

$- 12$ e $\frac{5}{6}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 12$ per $5$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 60}{6}$ e $t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $6$ da $- 60 t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Passaggio 1.2.7.2.4

Dividi $- 10 t^{11}$ per $1$ .

$10 t^{9} - 10 t^{11}$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}] + \frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{11}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 10 t^{11}$ rispetto a $t$ è $- 10 \frac{d}{d t} [t^{11}]$ .

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{11} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 11$ .

$H'' (t) = - 10 (11 t^{10}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $11$ per $- 10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10 t^{9}$ rispetto a $t$ è $10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 \frac{d}{d t} (t^{9})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 (9 t^{8})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $9$ per $10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 90 t^{8}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t^{10}) + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- \frac{5}{6}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{5}{6} t^{12}$ rispetto a $t$ è $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot \frac{d}{d t} t^{12}$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot (12 t^{11})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) \cdot t^{11}$

Passaggio 4.1.2.4

$- 12$ e $\frac{5}{6}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 12$ per $5$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Passaggio 4.1.2.6

$\frac{- 60}{6}$ e $t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Passaggio 4.1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Scomponi $6$ da $- 60 t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Passaggio 4.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Passaggio 4.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Passaggio 4.1.2.7.2.4

Dividi $- 10 t^{11}$ per $1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 10 t^{11}$

Passaggio 4.1.3

Riordina i termini.

$f' (t) = - 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $H (t)$ rispetto a $t$ è $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 10 t^{9}$ da $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 10 t^{9}$ da $- 10 t^{11}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} + 10 t^{9} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 10 t^{9}$ da $10 t^{9}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} - 10 t^{9} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 10 t^{9}$ da $- 10 t^{9} (t^{2}) - 10 t^{9} (- 1)$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 1$ .

$- 10 t^{9} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t^{9} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $t^{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $t^{9}$ uguale a $0$ .

$t^{9} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $t^{9} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[9]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\sqrt[9]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{9}$ .

$t = \sqrt[9]{0^{9}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$t = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $t + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $t + 1$ uguale a $0$ .

$t + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 1$

Passaggio 5.6

Imposta $t - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $t - 1$ uguale a $0$ .

$t - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$ vera.

$t = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 110 {(0)}^{10} + 90 {(0)}^{8}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 110 \cdot 0 + 90 {(0)}^{8}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 110$ per $0$ .

$0 + 90 {(0)}^{8}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 90 \cdot 0$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $90$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 4$ nell'espressione.

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{11} + 10 {(- 4)}^{9}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $11$ .

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 4194304 + 10 {(- 4)}^{9}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $- 4194304$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 {(- 4)}^{9}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $9$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 \cdot - 262144$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $10$ per $- 262144$ .

$H' (- 4) = 41943040 - 2621440$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $2621440$ da $41943040$ .

$H' (- 4) = 39321600$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $39321600$ .

$39321600$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dall'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{11} + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $11$ .

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00048828 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $- 0.00048828$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $9$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 \cdot - 0.00195312$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $10$ per $- 0.00195312$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 - 0.01953125$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $0.01953125$ da $0.00488281$ .

$H' (- 0.5) = - 0.01464843$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 0.01464843$ .

$- 0.01464843$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dall'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0.5$ nell'espressione.

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{11} + 10 {(0.5)}^{9}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $11$ .

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00048828 + 10 {(0.5)}^{9}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $0.00048828$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 {(0.5)}^{9}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $0.5$ alla potenza di $9$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 \cdot 0.00195312$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $10$ per $0.00195312$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 0.01953125$

Passaggio 10.4.2.2

Somma $- 0.00488281$ e $0.01953125$ .

$H' (0.5) = 0.01464843$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $0.01464843$ .

$0.01464843$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $t$ con $4$ nell'espressione.

$H' (4) = - 10 {(4)}^{11} + 10 {(4)}^{9}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $11$ .

$H' (4) = - 10 \cdot 4194304 + 10 {(4)}^{9}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $4194304$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 {(4)}^{9}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $9$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 \cdot 262144$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $10$ per $262144$ .

$H' (4) = - 41943040 + 2621440$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $- 41943040$ e $2621440$ .

$H' (4) = - 39321600$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $- 39321600$ .

$- 39321600$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = - 1$ , allora $t = - 1$ è un massimo locale.

$t = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 10.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = 0$ , allora $t = 0$ è un minimo locale.

$t = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = 1$ , allora $t = 1$ è un massimo locale.

$t = 1$ è un massimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ .

$t = - 1$ è un massimo locale

$t = 0$ è un minimo locale

$t = 1$ è un massimo locale

$t = - 1$ è un massimo locale

$t = 0$ è un minimo locale

$t = 1$ è un massimo locale

Passaggio 11