Calcolo Esempi

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$1 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - 2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos (2 x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (2 x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (2 x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 9

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 10.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 10.1.5

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 10.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $2 x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 13.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) - \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Passaggio 15.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 15.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Passaggio 17.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 17.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 17.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 17.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- \sqrt{3})$

Passaggio 17.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Passaggio 18

$x = \frac{5 π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) - \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Passaggio 19.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 19.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 19.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 19.2.2

La risposta finale è $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 21