Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sin (2 x) + 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (2 x) + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1 + 2 \cos (2 x)$ e $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $4 \sin (2 x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 + 2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = - 1$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 9

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 10.1.5

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 10.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 10.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3})$

Passaggio 13.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 4 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{3}$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{π}{3})) + 4$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3}) + 4$

Passaggio 15.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3}) + 4$

Passaggio 15.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ .

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Moltiplica $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 17.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 17.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 17.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Passaggio 17.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 18

$x = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2 π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 4$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Moltiplica $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1.1

$2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 4$

Passaggio 19.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3}) + 4$

Passaggio 19.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3}) + 4$

Passaggio 19.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Passaggio 19.2.2

La risposta finale è $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ .

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + \sin (2 x) + 4$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ è un massimo locale

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ è un minimo locale

Passaggio 21