Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - \ln (x)$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{1}{4 - \ln (x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $x$ da $4 x - \ln (x) x$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $x$ da $- \ln (x) x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ .

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ come ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x (4 - \ln (x))$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Moltiplica.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ per $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

Differenzia.

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Passaggio 2.8.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $4 - \ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.4.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

Passaggio 2.8.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Moltiplica $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ per $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

Passaggio 2.8.6.2

Somma ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ e $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Passaggio 2.9.2

Applica la regola del prodotto a $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Passaggio 2.9.3

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

Passaggio 2.9.4

Moltiplica $3 - \ln (x)$ per $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6