Calcolo Esempi

$f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 1.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 1.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Passaggio 1.6.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{- 5} + 0$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Passaggio 2.5.3.3

$24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}} + 0$

Passaggio 2.5.3.4

Somma $- \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 4.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 4.1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 4.1.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 4.1.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 4.1.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 4.1.3.8

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 4.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, x^{4}, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $x^{2}, x^{4}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{4}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.2.6

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 5.2.7

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{2}, x^{4}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 5.2.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Passaggio 5.2.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 5.2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Passaggio 5.2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Passaggio 5.2.9.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Passaggio 5.2.9.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1}$

Passaggio 5.2.9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x^{4}$ ciascun termine in $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ per $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6}{x^{4}}$ nel numeratore.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 6 + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0 x^{4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{4}$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + u - 6 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $u^{2} + u - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 5.4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Passaggio 5.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 3 = 0$

Passaggio 5.4.4

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 5.4.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 5.4.5

Imposta $u + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Imposta $u + 3$ uguale a $0$ .

$u + 3 = 0$

Passaggio 5.4.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 3$

Passaggio 5.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 2) (u + 3) = 0$ vera.

$u = 2, - 3$

Passaggio 5.4.7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = 2$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Passaggio 5.4.8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 5.4.9

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.4.9.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.9.2.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 5.4.9.2.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.4.9.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 5.4.10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Passaggio 5.4.11

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 5.4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 5.4.11.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 5.4.11.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 5.4.11.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 5.4.11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 5.4.11.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 5.4.11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 5.4.12

La soluzione di $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ è $x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta il denominatore in $\frac{6}{x^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 6.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.4.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{2}{\sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 9.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{2^{5}}}$

Passaggio 9.1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{32}}$

Passaggio 9.1.5.3

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.3.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{16 (2)}}$

Passaggio 9.1.5.3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.5.4

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{4 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $24$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.2.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (\sqrt{2})}$

Passaggio 9.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.1.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 9.1.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.1.8.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.1.8.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.1.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.1.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 9.1.8.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9.1.9

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 9.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 9.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 9.1.9.2.4

Dividi $3 \sqrt{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $3 \sqrt{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$3 \sqrt{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9.4.2

Somma $- \sqrt{2}$ e $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{3}}}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{8}}$

Passaggio 11.2.1.3.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 11.2.1.3.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.1.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.2.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.6.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.1.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.2.1.6.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Passaggio 11.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 0$

Passaggio 11.2.2.3.2

Somma $\sqrt{2}$ e $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{8}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{2}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.5.6.5

Calcola l'esponente.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Passaggio 13.1.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}}$

Passaggio 13.1.7.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- {\sqrt{2}}^{5}}$

Passaggio 13.1.7.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{2^{5}}}$

Passaggio 13.1.7.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{32}}$

Passaggio 13.1.7.5

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.5.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{16 (2)}}$

Passaggio 13.1.7.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 13.1.7.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 1 \cdot 4 \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.7.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 4 \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.8

Elimina il fattore comune di $24$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{- 4 \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{4 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 13.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 13.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{- \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{\sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 13.1.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.11.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 13.1.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 13.1.11.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 13.1.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 13.1.11.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 13.1.11.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 13.1.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 13.1.11.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13.1.12

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 13.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 13.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 13.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 13.1.12.2.4

Dividi $3 \sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (3 \sqrt{2})$

Passaggio 13.1.13

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2}$

Passaggio 13.2

Per scrivere $- 3 \sqrt{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 13.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

$- 3 \sqrt{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13.4.2

Sottrai $6 \sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) - \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.3.6.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}}$

Passaggio 15.2.1.5.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}}$

Passaggio 15.2.1.5.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{8}}$

Passaggio 15.2.1.5.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 15.2.1.5.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.1.5.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 15.2.1.5.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 15.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 15.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.7

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.7.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.8

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 15.2.1.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.9.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.1.9.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 15.2.1.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.9.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.9.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.2.1.9.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 15.2.1.9.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 15.2.1.9.6.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Passaggio 15.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 0$

Passaggio 15.2.2.3.2

Somma $- \sqrt{2}$ e $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2}$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ è un minimo locale

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ è un massimo locale

Passaggio 17