Calcolo Esempi

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 1.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

$- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{64}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $\frac{192}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 4.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 4.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 4.1.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 4.1.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 4.1.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1.1

$- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ per $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{x^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 64 = - x^{3}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{3} = - 64$ .

$- x^{3} = - 64$

Passaggio 5.5.2

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} + 64 = 0$

Passaggio 5.5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3} + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riscrivi $64$ come $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Passaggio 5.5.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Passaggio 5.5.3.2

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Passaggio 5.5.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 5.5.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Passaggio 5.5.3.4.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Passaggio 5.5.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Passaggio 5.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 5.5.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.5.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.5.6

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 5.5.6.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.4.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.6.2.5.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 5.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{64}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$\frac{192}{256}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $192$ e $256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$\frac{64 (3)}{256}$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $64$ da $256$ .

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $32$ per $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Passaggio 11.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$f (4) = 6$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ è un minimo locale

Passaggio 13