Calcolo Esempi

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 1.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 1.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 1.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 1.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 1.12

Somma $1$ e $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.13.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1.13.3

Riscrivi $9 \cos^{2} (x)$ come ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1.13.4

Riscrivi $9 \sin^{2} (x)$ come ${(3 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1.13.5

Riordina $- {(3 \sin (x))}^{2}$ e ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

Passaggio 1.13.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 \cos (x)$ e $b = 3 \sin (x)$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

Passaggio 1.13.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.8

Espandi $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.9

Combina i termini opposti in $3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.9.1

Riordina i fattori nei termini di $3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ e $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.9.2

Somma $- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ e $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.9.3

Somma $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ e $0$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.10.1

Moltiplica $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.10.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.2

Moltiplica $3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.10.2.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 1.13.10.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 1.13.10.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 1.13.10.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.13.10.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori di $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $18 \cos (x) \sin (x)$ da $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 4

Fattorizza $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $9$ da $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $9$ da $9 \cos^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $9$ da $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ .

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Passaggio 4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) + \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.4

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 6.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 6.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 6.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 6.2.10

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 6.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 6.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 6.2.13

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 7

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 7.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 7.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 7.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 7.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 7.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 7.2.16

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 10.5

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 10.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 10.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 10.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.8.2

Scomponi $2$ da $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.8.3

Elimina il fattore comune.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10.8.4

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Passaggio 10.9

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 10.10

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Passaggio 10.11

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 10.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 10.13

Somma $1$ e $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 10.14

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 10.14.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 10.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 10.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 10.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$9 \cdot 2^{1}$

Passaggio 10.14.5

Calcola l'esponente.

$9 \cdot 2$

Passaggio 10.15

Moltiplica $9$ per $2$ .

$18$

Passaggio 11

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.4.2

$- 9$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.6

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 12.2.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 12.2.8

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12.2.9

Moltiplica $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.9.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.9.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 12.2.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 12.2.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 12.2.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 12.2.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 12.2.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 12.2.10.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 12.2.11

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Passaggio 12.2.12

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.12.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Passaggio 12.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.12.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 12.2.13

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.4

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 14.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 14.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Scomponi $2$ da $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.7.2

Elimina il fattore comune.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 14.7.3

Riscrivi l'espressione.

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 14.8

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Passaggio 14.9

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 14.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 14.11

Somma $1$ e $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 14.12

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 14.12.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 14.12.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 14.12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.12.4.1

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 14.12.4.2

Riscrivi l'espressione.

$9 \cdot 2^{1}$

Passaggio 14.12.5

Calcola l'esponente.

$9 \cdot 2$

Passaggio 14.13

Moltiplica $9$ per $2$ .

$18$

Passaggio 15

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 16.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 16.2.3

$9$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 16.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 16.2.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 16.2.6

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.6.1

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.6.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 16.2.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 16.2.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 16.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 16.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 16.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 16.2.7.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 16.2.8

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Passaggio 16.2.9

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.9.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Passaggio 16.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 16.2.10

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 18.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 18.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Scomponi $2$ da $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 18.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 18.5

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Passaggio 18.6

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 18.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 18.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 18.9

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 18.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 18.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 18.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 18.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Passaggio 18.9.5

Calcola l'esponente.

$- 9 \cdot 2$

Passaggio 18.10

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$- 18$

Passaggio 19

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.2

$9$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 20.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 20.2.4

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.4.1

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 20.2.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 20.2.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 20.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 20.2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 20.2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 20.2.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 20.2.6

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

Passaggio 20.2.7

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.7.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Passaggio 20.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 20.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

Passaggio 20.2.8

La risposta finale è $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.3.2

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.4

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 22.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 22.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 22.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.7.2

Scomponi $2$ da $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.7.3

Elimina il fattore comune.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.7.4

Riscrivi l'espressione.

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Passaggio 22.8

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 22.9

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Passaggio 22.10

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 22.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 22.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 22.13

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 22.13.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 22.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 22.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 22.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Passaggio 22.13.5

Calcola l'esponente.

$- 9 \cdot 2$

Passaggio 22.14

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$- 18$

Passaggio 23

$x = \frac{5 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 24

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2.3

Moltiplica $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2.3.2

$- 9$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 24.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 24.2.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 24.2.7

Moltiplica $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.7.2

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.7.3

Moltiplica $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.7.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.7.5

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.7.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.7.7

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.7.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Passaggio 24.2.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 24.2.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 24.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 24.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 24.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 24.2.8.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Passaggio 24.2.9

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

Passaggio 24.2.10

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.10.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Passaggio 24.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 24.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

Passaggio 24.2.11

La risposta finale è $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Passaggio 25

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 26