Calcolo Esempi

$f (x) = x {(3 x - 9)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x - 9)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{3}] + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.8

Moltiplica ${(3 x - 9)}^{3}$ per $1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi ${(3 x - 9)}^{2}$ da $x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi ${(3 x - 9)}^{2}$ da $x (9 {(3 x - 9)}^{2})$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi ${(3 x - 9)}^{2}$ da ${(3 x - 9)}^{3}$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$

Passaggio 4.1.3

Scomponi ${(3 x - 9)}^{2}$ da ${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9) + 3 x - 9)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (9 \cdot x + 3 x - 9)$

Passaggio 4.2.2

Somma $9 x$ e $3 x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (12 x - 9)$