Calcolo Esempi

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 5$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.8

Moltiplica ${(2 x - 5)}^{3}$ per $1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi ${(2 x - 5)}^{2}$ da $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi ${(2 x - 5)}^{2}$ da $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi ${(2 x - 5)}^{2}$ da ${(2 x - 5)}^{3}$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

Passaggio 4.1.3

Scomponi ${(2 x - 5)}^{2}$ da ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

Passaggio 4.2.2

Somma $6 x$ e $2 x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${(2 x - 5)}^{2}$ come $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.4

Espandi $(2 x - 5) (2 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Passaggio 4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

Passaggio 4.6

Espandi $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.4

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.6.1

Sposta $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.7

Moltiplica $- 20$ per $8$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.8

Moltiplica $- 5$ per $- 20$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.9

Moltiplica $8$ per $25$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

Passaggio 4.7.10

Moltiplica $25$ per $- 5$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Passaggio 4.8

Sottrai $160 x^{2}$ da $- 20 x^{2}$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Passaggio 4.9

Somma $100 x$ e $200 x$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$