Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt{1 - x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Passaggio 2.13

Sottrai $1$ da $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Passaggio 2.14

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.15

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Passaggio 2.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.17

Riscrivi $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.18

Sposta ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$