Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 9.3

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Passaggio 13

Semplifica i termini.

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Passaggio 13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Passaggio 13.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Passaggio 13.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 13.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3.2

Combina.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 14.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 14.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.6

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.7

Scomponi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 14.7.1

Riordina ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.7.2

Scomponi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.7.3

Scomponi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.7.4

Scomponi ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.8

Riordina i termini.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.9

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 14.10

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$