Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (5 x + 1)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 2

Riscrivi $\tan (5 x + 1)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ .

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 4

Converti da $\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ a $\cot (5 x + 1)$ .

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Passaggio 5.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 6.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

Passaggio 6.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

Passaggio 6.6.3

Riordina i fattori di $5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$