Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (2 x) \cos (3 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (2 x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (3 x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- 3 \sin (3 x)) + 2 \cdot (\cos (3 x) \cos (2 x))$

Passaggio 5.3.3

Riordina i termini.

$- 3 \sin (2 x) \sin (3 x) + 2 \cos (2 x) \cos (3 x)$