Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x + y) - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$- y + \cos (x + y)$