Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (\tan (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Passaggio 3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Passaggio 3.5

$\sin (\tan (x))$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.6

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.7

Frazioni separate.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.9

Scrivi $\sin (\tan (x))$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Dividi $\sin (\tan (x))$ per $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Passaggio 3.10.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Passaggio 3.11

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Passaggio 3.12.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

Passaggio 3.12.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

Passaggio 3.12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Passaggio 3.12.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$