Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{b}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x + a}{b}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{b}$ per $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Passaggio 2.5

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ per $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $b$ per $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Passaggio 3.3.2

$b$ e $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $b$ e $b^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $b$ da $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $b$ da $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.4

Per scrivere $b$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.6

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.7

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$