Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (16 \sin^{2} (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 16 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} (16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.2.1

$16$ e $\frac{1}{16 \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 3

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 5

Sposta $2$ alla sinistra di $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i fattori di $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 7.2

Aggiungi le parentesi.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 7.3

Riordina $2 \csc^{2} (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Passaggio 7.4

Aggiungi le parentesi.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Passaggio 7.5

Riordina $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Passaggio 7.6

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Passaggio 7.7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Passaggio 7.8

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 7.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.11

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.12

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.13

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 7.13.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.13.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 7.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 7.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.14

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.15

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Passaggio 7.16

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \cot (x)$