Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

Passaggio 2.9

Somma $6 x - 2$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ .

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $6 x - 2$ per $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 3.3

Scomponi $2$ da $6 x - 2$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$