Calcolo Esempi

$g (x) = e^{x} \ln (x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{x^{3}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$3$ e $\frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2}}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) e^{x}$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$e^{x} \ln (x^{3}) + \frac{3 e^{x}}{x}$