Calcolo Esempi

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 t + 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t + 4$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

Passaggio 3.8

Sposta $2$ alla sinistra di ${(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $t {(3 t + 4)}^{2}$ da $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $t {(3 t + 4)}^{2}$ da $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $t {(3 t + 4)}^{2}$ da $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $t {(3 t + 4)}^{2}$ da $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.2

Sposta $9$ alla sinistra di $t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${(3 t + 4)}^{2}$ come $(3 t + 4) (3 t + 4)$ .

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.4

Espandi $(3 t + 4) (3 t + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Sposta $t$ .

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.1.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.5.2

Somma $12 t$ e $12 t$ .

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.6

Applica la proprietà distributiva.

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.7.3

Sposta $16$ alla sinistra di $t$ .

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Sposta $t$ .

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.8.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Passaggio 4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

Passaggio 4.9.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

Passaggio 4.10

Somma $9 t$ e $6 t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

Passaggio 4.11

Espandi $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.1

Sposta $t$ .

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.2.2

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.3

Moltiplica $9$ per $15$ .

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.4

Moltiplica $8$ per $9$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.6

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.6.1

Sposta $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.6.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.6.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.7

Moltiplica $24$ per $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.8

Moltiplica $8$ per $24$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.10

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.10.1

Sposta $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.10.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.11

Moltiplica $16$ per $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Passaggio 4.12.12

Moltiplica $8$ per $16$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Passaggio 4.13

Somma $72 t^{3}$ e $360 t^{3}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Passaggio 4.14

Somma $192 t^{2}$ e $240 t^{2}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$