Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \sin^{5} (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$4 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (5 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Passaggio 3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$20 (\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $20$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2}$ e $\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 14

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 15

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.1

Sposta $20$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 15.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Scomponi $2$ da $20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 17.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$