Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.10

$4$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{4 x^{6}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{6}}$ come ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x^{- 12}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Passaggio 3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

Passaggio 3.9

$6$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

Passaggio 3.11

$\frac{18}{4}$ e $x^{- 7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

Passaggio 3.12

Sposta $x^{- 7}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

Passaggio 3.13

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

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Passaggio 3.13.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

Passaggio 3.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.13.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

Passaggio 3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

Passaggio 3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$