Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\ln (x)}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{\ln (x)}$ come $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Passaggio 3

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Passaggio 4

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 10

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 11.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ e $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 11.3

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ e $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Passaggio 11.4

Sposta $6$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1

Semplifica $6 \ln (x)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Passaggio 12.2

Riordina i fattori in $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$