Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{2} \ln (8 x)$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2} \ln (8 x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (8 x)$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$8 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{8 x}$ e $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$8 (\frac{x \cdot x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (\frac{x}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\frac{x}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$8$ e $\frac{x}{8}$ .

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 (x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$8 (x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (x + \ln (8 x) (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x + 8 (\ln (8 x) (2 x))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$8 x + 16 \ln (8 x) x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$16 x \ln (8 x) + 8 x$