Calcolo Esempi

$f (x) = 2 e^{3 x} + \sin (4 x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{3 x} + \sin (4 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{3 x} + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \cdot 4$

Passaggio 3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$6 e^{3 x} + 4 \cos (4 x)$