Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} e^{2 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{5} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{5} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$x^{5} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (5 x^{4})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$ .

$2 x^{5} e^{2 x} + 5 x^{4} e^{2 x}$