Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{4}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b x^{3}$ rispetto a $x$ è $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x^{2}$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [d x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $d x$ rispetto a $x$ è $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $d$ per $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Passaggio 1.6

Poiché $e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ e $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Passaggio 1.7.2

Riordina i termini.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.1.2

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $d$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3} a$ rispetto a $x$ è $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3 b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} b$ rispetto a $x$ è $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2 c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 c x$ rispetto a $x$ è $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $0$ e $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $x^{4}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $a x^{4}$ rispetto a $a$ è $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $b x^{3}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $b x^{3}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $c x^{2}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $c x^{2}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $d x$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $d x$ rispetto a $a$ è $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Passaggio 4.1.3.4

Poiché $e$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $e$ rispetto a $a$ è $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Passaggio 4.1.4.3

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Passaggio 4.1.4.4

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4}$ .

$x^{4}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} = 0$

Passaggio 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 5.3

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $0$ per $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $6 b (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $0$ per $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $0$ per $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Combina i termini opposti in $2 c + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $2 c$ e $0$ .

$2 c + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $2 c$ e $0$ .

$2 c$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11