Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 7 x^{2} + 28$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 28$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $14 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $14$ alla sinistra di $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Moltiplica $14$ per $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.4

Moltiplica $7$ per $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $28 x^{5}$ da $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Riordina i termini.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 14 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 112 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 224 x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 14 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $5$ per $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 112$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 112 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 112 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $3$ per $- 112$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.9

Poiché $- 224$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 224 x$ rispetto a $x$ è $- 224 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \frac{d}{d x} x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \cdot 1) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $- 224$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $x^{4} - 16$ da ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $x^{4} - 16$ da ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi $x^{4} - 16$ da $- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2.3

Scomponi $x^{4} - 16$ da $(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $x^{4} - 16$ da ${(x^{4} - 16)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) + (- 8 (- 14 x^{5}) - 8 (- 112 x^{3}) - 8 (- 224 x)) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.1

Espandi $(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (- 70 x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4} x^{4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 (x^{4} x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4 + 4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.2.3

Somma $4$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.2.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 (x^{2} x^{4}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{2 + 4} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.4.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.5

Sposta $- 224$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 \cdot x^{4} - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.6

Moltiplica $- 70$ per $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.7

Moltiplica $- 336$ per $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.2.8

Moltiplica $- 16$ per $- 224$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.3

Somma $- 224 x^{4}$ e $1120 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 (x^{3} x^{5})) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{3 + 5}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.4.3

Somma $3$ e $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{8}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.5

Moltiplica $- 14$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 (x^{3} x^{3})) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3 + 3}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.6.3

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{6}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.7

Moltiplica $- 112$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.8

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.8.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.8.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{3 + 1})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.8.3

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{4})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.1.9

Moltiplica $- 224$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.2

Somma $- 70 x^{8}$ e $112 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.3

Somma $- 336 x^{6}$ e $896 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.3.4

Somma $896 x^{4}$ e $1792 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $14$ da $42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.4.1

Scomponi $14$ da $42 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.2

Scomponi $14$ da $560 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.3

Scomponi $14$ da $2688 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.4

Scomponi $14$ da $5376 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.5

Scomponi $14$ da $3584$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.6

Scomponi $14$ da $14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.7

Scomponi $14$ da $14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.8

Scomponi $14$ da $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.4.9

Scomponi $14$ da $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.5

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.6

Espandi $(x^{2} + 4) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.7.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.7.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.7.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.7.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.7.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.9

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 2.10.5.10

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 28$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Somma $14 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sposta $14$ alla sinistra di $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.9

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.2

Moltiplica $14$ per $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.3.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.4

Moltiplica $7$ per $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.5.2

Sottrai $28 x^{5}$ da $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3.6

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $- 14 x$ da $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Scomponi $- 14 x$ da $- 14 x^{5}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Passaggio 5.3.1.1.2

Scomponi $- 14 x$ da $- 112 x^{3}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 224 x = 0$

Passaggio 5.3.1.1.3

Scomponi $- 14 x$ da $- 224 x$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Passaggio 5.3.1.1.4

Scomponi $- 14 x$ da $- 14 x (x^{4}) - 14 x (8 x^{2})$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Passaggio 5.3.1.1.5

Scomponi $- 14 x$ da $- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x (16)$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 14 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Passaggio 5.3.1.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 16) = 0$

Passaggio 5.3.1.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.3.1.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Passaggio 5.3.1.4.3

Riscrivi il polinomio.

$- 14 x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.3.1.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 4$ .

$- 14 x {(u + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3.1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.4

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3.4.2

Risolvi ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Poni $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 5.3.4.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 5.3.4.2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 5.3.4.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 5.3.4.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 5.3.4.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 5.3.4.2.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 5.3.4.2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 5.3.4.2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 5.3.4.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 5.3.4.2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 5.3.4.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 5.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.3

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Risolvi ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Poni $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 6.2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 6.2.3.2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 6.2.3.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 6.2.3.2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 6.2.3.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 6.2.4

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.4.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2.4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.2.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.2.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.2.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{14 (3 {(0)}^{8} + 40 {(0)}^{6} + 192 {(0)}^{4} + 384 {(0)}^{2} + 256)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{14 (3 \cdot 0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $40$ per $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $192$ per $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $384$ per $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.9

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.10

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.11

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.1.12

Somma $0$ e $256$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi $0$ come $- 1 (0)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica ${(0 - 2)}^{3}$ per ${(0 - 2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.6.1

Sposta ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.2.6.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $14$ per $256$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.4.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Passaggio 9.4.3

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Passaggio 9.4.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Passaggio 9.4.4.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Passaggio 9.4.4.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Passaggio 9.4.4.4

Moltiplica $2^{6}$ per $1$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Passaggio 9.4.4.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Passaggio 9.4.4.6

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.4.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Passaggio 9.4.4.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Passaggio 9.4.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Passaggio 9.4.4.8

Somma $6$ e $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Passaggio 9.4.5

Eleva $2$ alla potenza di $12$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 4096}$

Passaggio 9.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4096$ .

$\frac{3584}{- 4096}$

Passaggio 9.5.2

Elimina il fattore comune di $3584$ e $- 4096$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.1

Scomponi $512$ da $3584$ .

$\frac{512 (7)}{- 4096}$

Passaggio 9.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.2.2.1

Scomponi $512$ da $- 4096$ .

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Passaggio 9.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Passaggio 9.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{- 8}$

Passaggio 9.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{8}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2} + 28}{{(0)}^{4} - 16}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0 + 28}{0^{4} - 16}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 28}{0^{4} - 16}$

Passaggio 11.2.1.3

Somma $0$ e $28$ .

$f (0) = \frac{28}{0^{4} - 16}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{28}{0 - 16}$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$f (0) = \frac{28}{- 16}$

Passaggio 11.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Elimina il fattore comune di $28$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f (0) = \frac{4 (7)}{- 16}$

Passaggio 11.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 11.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 11.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (0) = \frac{7}{- 4}$

Passaggio 11.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{7}{4}$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$ .

$(0, - \frac{7}{4})$ è un massimo locale

Passaggio 13