Calcolo Esempi

$f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{6 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 e^{6 x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 e^{6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 e^{6 x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} \cdot 6) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.6

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$f'' (x) = 6 (6 \cdot e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $6$ per $6$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + e^{- x}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + e^{- x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{6 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$f' (x) = e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (x) = e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 e^{6 x} - e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$6 e^{6 x} = e^{- x}$

Passaggio 5.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (6 e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\ln (6 e^{6 x})$ come $\ln (6) + \ln (e^{6 x})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.2

Espandi $\ln (e^{6 x})$ spostando $6 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (6) + 6 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (6) + 6 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\ln (6) + 6 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (6) + 6 x = - x \ln (e)$

Passaggio 5.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x \cdot 1$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x$

Passaggio 5.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (6) + 6 x + x = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $6 x$ e $x$ .

$\ln (6) + 7 x = 0$

Passaggio 5.7

Sottrai $\ln (6)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = - \ln (6)$

Passaggio 5.8

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - \ln (6)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - \ln (6)$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (6)}{7}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\ln (6)}{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 e^{6 (- \frac{\ln (6)}{7})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\ln (6)}{7}$ come $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$36 e^{6 (- (\frac{1}{7} \ln (6)))} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\frac{1}{7} \ln (6)$ spostando $\frac{1}{7}$ all'interno del logaritmo.

$36 e^{6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$36 e^{- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica $- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$36 e^{- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.4

Semplifica $- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$36 e^{\ln ({({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$36 {({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(6^{\frac{1}{7}})}^{6 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$36 {(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.7

Moltiplica gli esponenti in ${(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 6^{\frac{1}{7} \cdot - 6} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.7.2

$\frac{1}{7}$ e $- 6$ .

$36 \cdot 6^{\frac{- 6}{7}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$36 \cdot 6^{- \frac{6}{7}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$36 \cdot \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.9

$36$ e $\frac{1}{6^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Passaggio 9.10

Riscrivi $\frac{\ln (6)}{7}$ come $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- - (\frac{1}{7} \ln (6))}$

Passaggio 9.11

Semplifica $\frac{1}{7} \ln (6)$ spostando $\frac{1}{7}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- - \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 9.12

Moltiplica $- - \ln (6^{\frac{1}{7}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{1 \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 9.12.2

Moltiplica $\ln (6^{\frac{1}{7}})$ per $1$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{\ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 9.13

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Passaggio 10

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\ln (6)}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Simplify $- \frac{\ln (6)}{7}$ to substitute in $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (6)}{7}$ come $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$y = - (\frac{1}{7} \cdot \ln (6))$

Passaggio 11.1.2

Semplifica $\frac{1}{7} \ln (6)$ spostando $\frac{1}{7}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln (6^{\frac{1}{7}})$

Passaggio 11.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- \ln (6^{\frac{1}{7}})$ nell'espressione.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.1.2

Semplifica $- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.2

Semplifica $- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{\ln ({({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {(6^{\frac{1}{7}})}^{6 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.4.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{\frac{1}{7} \cdot - 6} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.5.2

$\frac{1}{7}$ e $- 6$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{\frac{- 6}{7}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{- \frac{6}{7}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Passaggio 11.3.1.7

Moltiplica $- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{1 \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 11.3.1.7.2

Moltiplica $\ln (6^{\frac{1}{7}})$ per $1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{\ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Passaggio 11.3.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Passaggio 11.3.2

La risposta finale è $\frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$ .

$y = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (6)}{7}, \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}})$ è un minimo locale

Passaggio 13