Calcolo Esempi

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 e^{3 x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 4.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 e^{3 x} - e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

Passaggio 5.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\ln (3 e^{3 x})$ come $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.2

Espandi $\ln (e^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.5

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

Passaggio 5.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x$

Passaggio 5.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $3 x$ e $x$ .

$\ln (3) + 4 x = 0$

Passaggio 5.7

Sottrai $\ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - \ln (3)$

Passaggio 5.8

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - \ln (3)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - \ln (3)$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.4

Semplifica $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.6

Moltiplica gli esponenti in ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.7

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.7.2

$\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.9

$9$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Passaggio 9.10

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

Passaggio 9.11

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 9.12

Moltiplica $- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 9.12.2

Moltiplica $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ per $1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 9.13

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 10

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (3)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

Passaggio 11.1.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (3)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2

Sostituisci la variabile $x$ con $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ nell'espressione.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Moltiplica $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.1.2

Semplifica $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.2

Semplifica $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Passaggio 11.3.1.7

Moltiplica $- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 11.3.1.7.2

Moltiplica $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ per $1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 11.3.1.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 11.3.2

La risposta finale è $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ è un minimo locale

Passaggio 13