Calcolo Esempi

$f (x) = e^{9 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{9 x} (9 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$e^{9 x} \cdot 9$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $e^{9 x}$ .

$9 e^{9 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 e^{9 x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (e^{9 x})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 (e^{u} \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x$ .

$f'' (x) = 9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} (9 x))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $81$ per $1$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$9 e^{9 x} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6