Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 9

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 9.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 12

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13

$x = \frac{π}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 14.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 14.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 16.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 16.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17

$x = \frac{5 π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 18.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 18.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 18.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18.2.2

La risposta finale è $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ è un minimo locale

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ è un massimo locale

Passaggio 20