Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{3} - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} - 1$ .

$x^{3} - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta $x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 5.7.2

Risolvi $x^{2} + x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 5.7.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 5.7.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 5.7.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 5.7.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 {(1)}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 11.2.3

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ .

$(1, - \frac{3}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 13