Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- \frac{81}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{81}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.4

$- 2$ e $\frac{81}{2}$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $- 2$ per $81$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.6

$\frac{- 162}{2}$ e $x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.7

Elimina il fattore comune di $- 162$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Scomponi $2$ da $- 162 x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.4.7.2.4

Dividi $- 81 x$ per $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $729$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $729 x$ rispetto a $x$ è $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $729$ per $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [729]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81 x$ rispetto a $x$ è $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 81$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + \frac{d}{d x} (729)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $729$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $729$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 x^{2} - 18 x - 81$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- \frac{81}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{81}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) \cdot x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.4

$- 2$ e $\frac{81}{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.5

Moltiplica $- 2$ per $81$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.6

$\frac{- 162}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.7

Elimina il fattore comune di $- 162$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.1

Scomponi $2$ da $- 162 x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.4.7.2.4

Dividi $- 81 x$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $729$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $729 x$ rispetto a $x$ è $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $729$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 9 x^{2}) - 81 x + 729 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 9) - 81 (x - 9) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 9$ .

$(x - 9) (x^{2} - 81) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$(x - 9) (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 9$ .

$(x - 9) ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 9) (x + 9) (x - 9) = 0$

Passaggio 5.2.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Eleva $x - 9$ alla potenza di $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Eleva $x - 9$ alla potenza di $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Passaggio 5.2.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 9)}^{1 + 1} (x + 9) = 0$

Passaggio 5.2.5.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta ${(x - 9)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta ${(x - 9)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi ${(x - 9)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Poni $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$ vera.

$x = 9, - 9$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 9, - 9$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 9$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 81$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 81 - 18 \cdot 9 - 81$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $3$ per $81$ .

$243 - 18 \cdot 9 - 81$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 18$ per $9$ .

$243 - 162 - 81$

Passaggio 9.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $162$ da $243$ .

$81 - 81$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $81$ da $81$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 12$ , dall'intervallo $(- \infty, - 9)$ nella derivata prima $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 12$ nell'espressione.

$f' (- 12) = {(- 12)}^{3} - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Passaggio 10.2.2.1.2

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot - 12 + 729$

Passaggio 10.2.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $144$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 - 81 \cdot - 12 + 729$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 81$ per $- 12$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 + 972 + 729$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $1296$ da $- 1728$ .

$f' (- 12) = - 3024 + 972 + 729$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $- 3024$ e $972$ .

$f' (- 12) = - 2052 + 729$

Passaggio 10.2.2.2.3

Somma $- 2052$ e $729$ .

$f' (- 12) = - 1323$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 1323$ .

$- 1323$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- 9, 9)$ nella derivata prima $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 81$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 729$

Passaggio 10.3.2.2.3

Somma $0$ e $729$ .

$f' (0) = 729$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $729$ .

$729$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $12$ , dall'intervallo $(9, \infty)$ nella derivata prima $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f' (12) = {(12)}^{3} - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $3$ .

$f' (12) = 1728 - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Passaggio 10.4.2.1.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f' (12) = 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot 12 + 729$

Passaggio 10.4.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $144$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 81 \cdot 12 + 729$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 81$ per $12$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 972 + 729$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Sottrai $1296$ da $1728$ .

$f' (12) = 432 - 972 + 729$

Passaggio 10.4.2.2.2

Sottrai $972$ da $432$ .

$f' (12) = - 540 + 729$

Passaggio 10.4.2.2.3

Somma $- 540$ e $729$ .

$f' (12) = 189$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $189$ .

$189$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 9$ , allora $x = - 9$ è un minimo locale.

$x = - 9$ è un minimo locale

Passaggio 10.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 9$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ .

$x = - 9$ è un minimo locale

Passaggio 11