Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{10}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{10 x^{3}}{3}$ per $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $51$ per $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $510$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $6$ da $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.2.4

Dividi $85 x^{3}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.7

Poiché $85$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $85 x^{5}$ rispetto a $x$ è $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $5$ per $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $425 x^{4} + 5$ e $0$ .

$425 x^{4} + 5$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $425 x^{4} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $425$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $425 x^{4}$ rispetto a $x$ è $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $425$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1700 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$425 x^{4} + 5 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$\frac{10}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $\frac{10 x^{3}}{3}$ per $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $51$ per $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $510$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Scomponi $6$ da $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.5.2.4

Dividi $85 x^{3}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $85$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $85 x^{5}$ rispetto a $x$ è $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $5$ per $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $425 x^{4} + 5$ e $0$ .

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $425 x^{4} + 5$ .

$425 x^{4} + 5$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $425 x^{4} + 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$425 x^{4} + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$425 x^{4} = - 5$

Passaggio 5.3

Dividi per $425$ ciascun termine in $425 x^{4} = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $425$ ciascun termine in $425 x^{4} = - 5$ .

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $425$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $425$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $425$ .

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Passaggio 5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ come $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

Passaggio 9.2

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Passaggio 9.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Passaggio 9.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

Passaggio 9.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

Passaggio 9.6

Eleva $85$ alla potenza di $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata prima $425 x^{4} + 5$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $425$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 5$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $0$ e $5$ .

$f' (0) = 5$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 10.3

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11