Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{7}}{e^{x}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.5

$3$ e $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.2.1.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.2.2

Riordina i fattori in $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.3

Riordina i termini.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.4

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.4.2

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.4.3

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Passaggio 1.6.5.2.4

Dividi $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ per $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Passaggio 1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Passaggio 1.6.7

Moltiplica $7$ per $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Passaggio 1.6.8

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1

Sposta $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Passaggio 1.6.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Passaggio 1.6.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Passaggio 1.6.8.3

Somma $1$ e $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Passaggio 1.6.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Passaggio 1.6.10

Riordina i fattori in $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21 x^{6} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $21 \frac{d}{d x} [x^{6} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{7} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{- x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $21$ .

$f'' (x) = - 21 (x^{6} (e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $6$ per $21$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 (e^{- x} (x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 (x^{7} (e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Passaggio 2.4.3.4

Moltiplica $7$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x} - 21 (e^{- x} (x^{6}))$

Passaggio 2.4.3.5

Sottrai $21 e^{- x} x^{6}$ da $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.5.1

Sposta $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 2.4.3.5.2

Sottrai $21 x^{6} e^{- x}$ da $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $- 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 x^{5} e^{- x} + 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Passaggio 4.1.2

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.5

$3$ e $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.2.1.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Riordina i fattori in $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.3

Riordina i termini.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.4

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.4.3

Scomponi $3 e^{x} x^{6}$ da $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Passaggio 4.1.6.5.2.4

Dividi $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ per $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Passaggio 4.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Passaggio 4.1.6.7

Moltiplica $7$ per $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Passaggio 4.1.6.8

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.8.1

Sposta $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Passaggio 4.1.6.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Passaggio 4.1.6.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.6.8.3

Somma $1$ e $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.6.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Passaggio 4.1.6.10

Riordina i fattori in $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f' (x) = 21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 x^{6} e^{- x}$ da $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 x^{6} e^{- x}$ da $21 x^{6} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 x^{6} e^{- x}$ da $- 3 x^{7} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 x^{6} e^{- x}$ da $3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x)$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{6} = 0$

$e^{- x} = 0$

$7 - x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{6}$ uguale a $0$ .

$x^{6} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{6} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[6]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $7 - x$ uguale a $0$ .

$7 - x = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $7 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 7$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 7$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Dividi $- 7$ per $- 1$ .

$x = 7$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 7$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 7$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 42 {(0)}^{6} e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 42 \cdot 0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 42$ per $0$ .

$0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 126 \cdot 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $126$ per $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 3 \cdot 0 e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Passaggio 9.1.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Passaggio 9.1.14

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 21 {(- 2)}^{6} e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$f' (- 2) = 21 \cdot (64 e^{- (- 2)}) - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $21$ per $64$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $7$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 \cdot (- 128 e^{- (- 2)})$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 128$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{- (- 2)}$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $1344 e^{2}$ e $384 e^{2}$ .

$f' (- 2) = 1728 e^{2}$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $1728 e^{2}$ .

$1728 e^{2}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(0, 7)$ nella derivata prima $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 21 {(4)}^{6} e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $6$ .

$f' (4) = 21 \cdot (4096 e^{- (4)}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $21$ per $4096$ .

$f' (4) = 86016 e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = 86016 e^{- 4} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = 86016 (\frac{1}{e^{4}}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.5

$86016$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $7$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 \cdot (16384 e^{- (4)})$

Passaggio 10.3.2.1.7

Moltiplica $- 3$ per $16384$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- (4)}$

Passaggio 10.3.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- 4}$

Passaggio 10.3.2.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 10.3.2.1.10

$- 49152$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} + \frac{- 49152}{e^{4}}$

Passaggio 10.3.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - \frac{49152}{e^{4}}$

Passaggio 10.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{86016 - 49152}{e^{4}}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Sottrai $49152$ da $86016$ .

$f' (4) = \frac{36864}{e^{4}}$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $\frac{36864}{e^{4}}$ .

$\frac{36864}{e^{4}}$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata prima $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = 21 {(10)}^{6} e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $6$ .

$f' (10) = 21 \cdot (1000000 e^{- (10)}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $21$ per $1000000$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- 10} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = 21000000 (\frac{1}{e^{10}}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.5

$21000000$ e $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.6

Eleva $10$ alla potenza di $7$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 \cdot (10000000 e^{- (10)})$

Passaggio 10.4.2.1.7

Moltiplica $- 3$ per $10000000$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- (10)}$

Passaggio 10.4.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- 10}$

Passaggio 10.4.2.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 \frac{1}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.1.10

$- 30000000$ e $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} + \frac{- 30000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - \frac{30000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (10) = \frac{21000000 - 30000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.2.1

Sottrai $30000000$ da $21000000$ .

$f' (10) = \frac{- 9000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (10) = - \frac{9000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- \frac{9000000}{e^{10}}$ .

$- \frac{9000000}{e^{10}}$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 7$ , allora $x = 7$ è un massimo locale.

$x = 7$ è un massimo locale

Passaggio 11