Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 1.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.5.2.2

$4$ e $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.2.2

Riordina i fattori in $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.3

Riordina i termini.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.4

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.4.2

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.4.3

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Passaggio 2.7.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Passaggio 2.7.2.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Passaggio 2.7.2.2.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Passaggio 2.9

$4$ e $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.1.6

Moltiplica $20$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.2

Sottrai $16 x e^{x}$ da $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.3

Sottrai $20 e^{x} x$ da $- 12 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.5.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.5.3.2

Sottrai $20 x e^{x}$ da $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.7.1

Scomponi $4 e^{x}$ da $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.7.1.1

Scomponi $4 e^{x}$ da $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7.1.2

Scomponi $4 e^{x}$ da $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7.1.3

Scomponi $4 e^{x}$ da $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7.1.4

Scomponi $4 e^{x}$ da $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7.1.5

Scomponi $4 e^{x}$ da $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Passaggio 2.10.7.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Passaggio 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Passaggio 4.1.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Passaggio 4.1.5.2.2

$4$ e $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Riordina i fattori in $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.4

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.4.3

Scomponi $4 e^{x} x^{3}$ da $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 4.1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 e^{x} (x - 4) = 0$ vera.

$x = 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{5} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\sqrt[5]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $4$ e ${(4)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi $4$ da $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Passaggio 9.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $4$ da ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Passaggio 9.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $32$ da $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $- 16$ e $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Passaggio 9.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $1024$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $4$ da $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Passaggio 9.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{4}}{256}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e ${(4)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Scomponi $4$ da ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Passaggio 11.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Passaggio 11.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ è un minimo locale

Passaggio 13