Calcolo Esempi

$f (x) = | x - 3 |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ per $1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = | x - 3 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $| x - 3 |$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1)}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{x - 3}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- x + 3$ per $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- x + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.4

Riscrivi $- (x - 3)$ come $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.5

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.6

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.2

Per scrivere $| x - 3 |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x - 3 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 |}{| x - 3 |} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Moltiplica $| x - 3 | | x - 3 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{1 + 1} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{2} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x - 3) - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 x - 3 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.4.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.7.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 6 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.8

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.9.1

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.9.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.10

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11

Riscrivi $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.1

Raggruppa i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.2

Scomponi $- 1$ da $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.3

Scomponi $- 1$ da $| x^{2} - 6 x + 9 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3

Scomponi $- 1$ da $- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.11.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 (9) - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.3.3

Riscrivi $- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ come $- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.4.11.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $\frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |} \cdot \frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$ per $\frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica ${| x - 3 |}^{2}$ per $| x - 3 |$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Moltiplica ${| x - 3 |}^{2}$ per $| x - 3 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.1

Eleva $| x - 3 |$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Passaggio 2.5.3.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x - 3 | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| (3) - 3 |}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| 0 |}^{3}}$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0^{3}}$

Passaggio 9.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata prima $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{(0) - 3}{| (0) - 3 |}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| 0 - 3 |}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Dividi $- 3$ per $3$ .

$f' (0) = - 1$

Passaggio 10.2.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = \frac{(6) - 3}{| (6) - 3 |}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 6 - 3 |}$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 3 |}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$f' (6) = \frac{3}{3}$

Passaggio 10.3.2.3

Dividi $3$ per $3$ .

$f' (6) = 1$

Passaggio 10.3.2.4

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un minimo locale.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11