Calcolo Esempi

$f (x) = | x |$

Passaggio 1

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $| x |$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.4

$\frac{x}{| x |}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Per scrivere $| x |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.3.1

Moltiplica $| x | | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.3.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.3.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.2.4

Dividi $0$ per $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 2.9.4

Dividi $0$ per $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

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Passaggio 4.1

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5.3

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x}{| x |} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{| x |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0$

Passaggio 9

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 9.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 9.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{x}{| x |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 9.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Passaggio 9.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 9.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{x}{| x |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Passaggio 9.3.2.2

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (2) = 1$

Passaggio 9.3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 9.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10