Calcolo Esempi

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{- 7} + x^{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

$- 7$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{6}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{7}{x^{8}}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{8}}$ come ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{8})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 16}$ per $x^{7}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $16$ da $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 8$ per $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Passaggio 2.4.2

$56$ e $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42 x^{5}$ rispetto a $x$ è $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $5$ per $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $56$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{56}{x^{9}}$ rispetto a $x$ è $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{9}}$ come ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{9})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $9$ per $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 18}$ per $x^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Passaggio 3.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $18$ da $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 9$ per $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

$- 504$ e $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $210$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $210 x^{4}$ rispetto a $x$ è $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $4$ per $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 504$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{504}{x^{10}}$ rispetto a $x$ è $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{10}}$ come ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{10})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x^{- 20}$ per $x^{9}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Sposta $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Passaggio 4.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Passaggio 4.3.7.3

Sottrai $20$ da $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $- 10$ per $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Passaggio 4.4.2

$5040$ e $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$