Calcolo Esempi

$f (t) = t \sqrt{25 - t^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - t^{2}}$ come ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 25 - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.14.2

$- 2$ e $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.15

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.16

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.19

Scomponi $2$ da $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.23

Moltiplica ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.24

Per scrivere ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26

Moltiplica ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{1}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.27

Semplifica ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.28

Sottrai $t^{2}$ da $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.29

Riordina i termini.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = - 2 t^{2} + 25$ e $g (t) = {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 t^{2} + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + 0) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.4.6

Somma $- 4 t$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = - t^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{{(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $- t^{2} + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (- t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.15

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + 0))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.16

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Somma $- 2 t$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t))}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.16.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot t)}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- 2 t}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.16.4

Scomponi $2$ da $- 2 t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.17

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.17.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (- \frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + 1 (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.20

Moltiplica $- 2 t^{2} + 25$ per $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.2

Moltiplica $- 2 t^{2} + 25$ per $\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.3

Per scrivere $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t \cdot \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.4

$- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ e $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6

Riscrivi $\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.1

Scomponi $t$ da $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.1.1

Scomponi $t$ da $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.1.2

Scomponi $t$ da $(- 2 t^{2} + 25) t$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.1.3

Scomponi $t$ da $t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.2

Moltiplica ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.1.6.2.1

Sposta ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.3

Semplifica $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2}) - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.6

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 100 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.7

Sottrai $2 t^{2}$ da $4 t^{2}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 100 + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.1.6.8

Somma $- 100$ e $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$ come un prodotto.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- t^{2} + 25}$

Passaggio 2.21.2.2

Moltiplica $\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- t^{2} + 25}$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Passaggio 2.21.2.3

Moltiplica ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $- t^{2} + 25$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1

Moltiplica ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $- t^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.3.1.1

Eleva $- t^{2} + 25$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Passaggio 2.21.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.21.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.21.2.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{25 - t^{2}}$ come ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.2

$f' (t) = t \frac{d}{d t} ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 25 - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (25) + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.10

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.14.2

$- 2$ e $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.15

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.16

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (t) = \frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 4.1.22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.23

Moltiplica ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.24

Per scrivere ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26

Moltiplica ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.27

Semplifica ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.28

Sottrai $t^{2}$ da $- t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.29

Riordina i termini.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 t^{2} + 25 = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 t^{2} = - 25$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 t^{2} = - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 t^{2} = - 25$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$t^{2} = \frac{25}{2}$

Passaggio 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.3

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.3.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{{(- t^{2} + 25)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- t^{2} + 25} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- t^{2} + 25}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- t^{2} + 25}$ come ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- t^{2} + 25)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- t^{2} + 25 = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- t^{2} + 25 = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- t^{2} = - 25$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t^{2} = - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t^{2} = - 25$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$t^{2} = 25$

Passaggio 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 6.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$t = \pm 5$

Passaggio 6.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = 5$

Passaggio 6.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - 5$

Passaggio 6.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = 5, - 5$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- t^{2} + 25}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- t^{2} + 25 < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- t^{2} < - 25$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t^{2} < - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t^{2} < - 25$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- t^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$t^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$t^{2} > 25$

Passaggio 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{t^{2}} > \sqrt{25}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| t | > \sqrt{25}$

Passaggio 6.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| t | > \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 6.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| t | > | 5 |$

Passaggio 6.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$| t | > 5$

Passaggio 6.5.5

Scrivi $| t | > 5$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$t \geq 0$

Passaggio 6.5.5.2

Nella parte in cui $t$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$t > 5$

Passaggio 6.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$t < 0$

Passaggio 6.5.5.4

Nella parte in cui $t$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- t > 5$

Passaggio 6.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} t > 5 & t \geq 0 \\ - t > 5 & t < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.5.6

Trova l'intersezione di $t > 5$ e $t \geq 0$ .

$t > 5$

Passaggio 6.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t > 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t > 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t < \frac{5}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.3.1

Dividi $5$ per $- 1$ .

$t < - 5$

Passaggio 6.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$t < - 5$ o $t > 5$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - 5, 5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(\frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.6

Dividi $50$ per $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.7

Sottrai $75$ da $25$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.5

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.3

$25$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.5.2

Somma $- 25$ e $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{25}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.7.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.2.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.2.7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.2.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.2.7.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ e $- 50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2} \cdot - 50}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $- 50$ per $5$ .

$\frac{\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riduci l'espressione $\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.4.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.4.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{- 125 \sqrt{2}}{1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.4.2

Dividi $- 125 \sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{- 125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 9.6

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Scomponi $125$ da $- 125 \sqrt{2}$ .

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 9.6.2

Elimina il fattore comune.

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 9.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 9.7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 9.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Passaggio 9.9.2

Somma $3$ e $1$ .

$- 2^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 9.10

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 9.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 9.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 9.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 9.10.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 2^{2}$

Passaggio 9.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.11.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 1 \cdot 4$

Passaggio 9.11.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4$

Passaggio 10

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Passaggio 11.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Passaggio 11.2.3.3

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Passaggio 11.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Passaggio 11.2.4

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 11.2.5

$25$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 11.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Passaggio 11.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Passaggio 11.2.7.2

Sottrai $25$ da $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Passaggio 11.2.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.9.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1.1

Scomponi $\sqrt{2}$ da $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.10.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.10.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{2} \cdot 5$

Passaggio 11.2.10.2

$\frac{5}{2}$ e $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \cdot 5}{2}$

Passaggio 11.2.10.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{25}{2}$

Passaggio 11.2.11

La risposta finale è $\frac{25}{2}$ .

$y = \frac{25}{2}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.4.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.8

Dividi $50$ per $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.9

Sottrai $75$ da $25$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.10

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Moltiplica $- 50$ per $- 1$ .

$\frac{50 \frac{5 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.10.2

$50$ e $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{50 (5 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.10.3

Moltiplica $5$ per $50$ .

$\frac{\frac{250 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.11

Elimina il fattore comune di $250$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.1

Scomponi $2$ da $250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{125 \sqrt{2}}{1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.11.2.4

Dividi $125 \sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.6

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.7

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.3

$25$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.5.2

Somma $- 25$ e $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.2.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.2.7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.2.7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.2.7.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 13.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Scomponi $125$ da $125 \sqrt{2}$ .

$125 (\sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Passaggio 13.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 13.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 13.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

Passaggio 13.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

Passaggio 13.7.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 13.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 13.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 13.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 13.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 13.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2^{2}$

Passaggio 13.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4$

Passaggio 14

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Passaggio 15.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 15.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 15.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Passaggio 15.2.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Passaggio 15.2.5.2

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Passaggio 15.2.5.3

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.3.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Passaggio 15.2.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 15.2.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Passaggio 15.2.6

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 15.2.7

$25$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 15.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Passaggio 15.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.9.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Passaggio 15.2.9.2

Sottrai $25$ da $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Passaggio 15.2.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{2}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.11.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.12.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.12.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.12.1.2

Scomponi $\sqrt{2}$ da $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.12.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Passaggio 15.2.12.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{2} \cdot 5$

Passaggio 15.2.12.2

$\frac{- 5}{2}$ e $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \cdot 5}{2}$

Passaggio 15.2.12.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.12.3.1

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 25}{2}$

Passaggio 15.2.12.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{25}{2}$

Passaggio 15.2.13

La risposta finale è $- \frac{25}{2}$ .

$y = - \frac{25}{2}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $t = - 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- {(- 5)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 1 \cdot 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $- 25$ e $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 17.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 17.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{3}}$

Passaggio 17.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Passaggio 17.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Passaggio 17.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 19