Calcolo Esempi

$f (x) = (x - 1) e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$x e^{x}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i fattori di $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Passaggio 1.4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x$ .

$x e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Passaggio 4.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.1.4.2.2

Somma $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.2.3

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$x e^{x}$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i fattori di $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Passaggio 4.1.4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x$ .

$f' (x) = x e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x e^{x}$ .

$x e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{x} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$(0) e^{0} + e^{0}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{0}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + e^{0}$

Passaggio 9.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 1$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = ((0) - 1) \cdot e^{0}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = - 1 \cdot e^{0}$

Passaggio 11.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = - 1$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

$(0, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 13