Calcolo Esempi

$f (x) = - 0.3 x^{2} + 2.1 x + 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.3 x^{2} + 2.1 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 0.3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.3$ .

$- 0.6 x + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2.1 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.1 x$ rispetto a $x$ è $2.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.6 x + 2.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.6 x + 2.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2.1$ per $1$ .

$- 0.6 x + 2.1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 0.6 x + 2.1 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 0.6 x + 2.1$ e $0$ .

$- 0.6 x + 2.1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.6 x + 2.1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.6 x] + \frac{d}{d x} [2.1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.6 x) + \frac{d}{d x} (2.1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 0.6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.6 x$ rispetto a $x$ è $- 0.6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 0.6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2.1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 0.6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2.1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 0.6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 0.6 + \frac{d}{d x} (2.1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 0.6 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 0.6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 0.6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 0.6 x + 2.1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.3 x^{2} + 2.1 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 0.3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 0.3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.3$ .

$- 0.6 x + \frac{d}{d x} [2.1 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2.1 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.1 x$ rispetto a $x$ è $2.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.6 x + 2.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 0.6 x + 2.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2.1$ per $1$ .

$- 0.6 x + 2.1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 0.6 x + 2.1 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- 0.6 x + 2.1$ e $0$ .

$f' (x) = - 0.6 x + 2.1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 0.6 x + 2.1$ .

$- 0.6 x + 2.1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 0.6 x + 2.1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 0.6 x + 2.1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2.1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.6 x = - 2.1$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 0.6$ ciascun termine in $- 0.6 x = - 2.1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 0.6$ ciascun termine in $- 0.6 x = - 2.1$ .

$\frac{- 0.6 x}{- 0.6} = \frac{- 2.1}{- 0.6}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.6 x}{- 0.6} = \frac{- 2.1}{- 0.6}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2.1}{- 0.6}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 2.1$ per $- 0.6$ .

$x = 3.5$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3.5$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3.5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 0.6$

Passaggio 9

$x = 3.5$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3.5$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 3.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.5$ nell'espressione.

$f (3.5) = - 0.3 {(3.5)}^{2} + 2.1 (3.5) + 8$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Eleva $3.5$ alla potenza di $2$ .

$f (3.5) = - 0.3 \cdot 12.25 + 2.1 (3.5) + 8$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 0.3$ per $12.25$ .

$f (3.5) = - 3.675 + 2.1 (3.5) + 8$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $2.1$ per $3.5$ .

$f (3.5) = - 3.675 + 7.35 + 8$

Passaggio 10.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $- 3.675$ e $7.35$ .

$f (3.5) = 3.675 + 8$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $3.675$ e $8$ .

$f (3.5) = 11.675$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $11.675$ .

$y = 11.675$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 0.3 x^{2} + 2.1 x + 8$ .

$(3.5, 11.675)$ è un massimo locale

Passaggio 12