Calcolo Esempi

$3 x^{4} - 96 x + 7$

Passaggio 1

Scrivi $3 x^{4} - 96 x + 7$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 96 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96 x$ rispetto a $x$ è $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x^{3} - 96$ e $0$ .

$12 x^{3} - 96$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 96$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $36 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 96 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96 x$ rispetto a $x$ è $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $12 x^{3} - 96$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 96$ .

$12 x^{3} - 96$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 96 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 96 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $96$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{3} = 96$

Passaggio 6.3

Sottrai $96$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3} - 96$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

Passaggio 6.4.1.2

Scomponi $12$ da $- 96$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 6.4.1.3

Scomponi $12$ da $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ .

$12 (x^{3} - 8) = 0$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Passaggio 6.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.4.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Passaggio 6.4.4.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Passaggio 6.4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 6.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 6.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.7

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 6.7.2

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.7.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.7.2.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.7.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Passaggio 6.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.7.2.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 6.7.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 6.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 6.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(2)}^{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$36 \cdot 4$

Passaggio 10.2

Moltiplica $36$ per $4$ .

$144$

Passaggio 11

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 96$ per $2$ .

$f (2) = 48 - 192 + 7$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $192$ da $48$ .

$f (2) = - 144 + 7$

Passaggio 12.2.2.2

Somma $- 144$ e $7$ .

$f (2) = - 137$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 137$ .

$y = - 137$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ .

$(2, - 137)$ è un minimo locale

Passaggio 14