Calcolo Esempi

$2 x^{2} + 255 x + 5000$

Passaggio 1

Scrivi $2 x^{2} + 255 x + 5000$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{2} + 255 x + 5000$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 255 x + 5000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [255 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $255$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $255 x$ rispetto a $x$ è $255 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 255 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 255 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $255$ per $1$ .

$4 x + 255 + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $5000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 255 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4 x + 255$ e $0$ .

$4 x + 255$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 255$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [255]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (255)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (255)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (255)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (255)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $255$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $255$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x + 255 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 255 x + 5000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [255 x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [255 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $255$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $255 x$ rispetto a $x$ è $255 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 255 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 255 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $255$ per $1$ .

$4 x + 255 + \frac{d}{d x} [5000]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $5000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 255 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $4 x + 255$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 255$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x + 255$ .

$4 x + 255$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x + 255 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x + 255 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $255$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 255$

Passaggio 6.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 255$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 255$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 255}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 255}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 255}{4}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{255}{4}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{255}{4}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{255}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4$

Passaggio 10

$x = - \frac{255}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{255}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{255}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{255}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{255}{4}) = 2 {(- \frac{255}{4})}^{2} + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{255}{4})}^{2}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{255^{2}}{4^{2}})) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (1 (\frac{255^{2}}{4^{2}})) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $\frac{255^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{255^{2}}{4^{2}}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $255$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{4^{2}}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{16}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{2 (8)}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{255}{4}) = 2 (\frac{65025}{2 \cdot 8}) + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + 255 (- \frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $255 (- \frac{255}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $255$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - 255 (\frac{255}{4}) + 5000$

Passaggio 11.2.1.7.2

$- 255$ e $\frac{255}{4}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + \frac{- 255 \cdot 255}{4} + 5000$

Passaggio 11.2.1.7.3

Moltiplica $- 255$ per $255$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} + \frac{- 65025}{4} + 5000$

Passaggio 11.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025}{4} + 5000$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{65025}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - (\frac{65025}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5000$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{65025}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5000$

Passaggio 11.2.2.3

Scrivi $5000$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000}{1}$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{5000}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{5000}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Passaggio 11.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025}{8} - \frac{65025 \cdot 2}{8} + \frac{5000 \cdot 8}{8}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 65025 \cdot 2 + 5000 \cdot 8}{8}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 65025$ per $2$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 130050 + 5000 \cdot 8}{8}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $5000$ per $8$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{65025 - 130050 + 40000}{8}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sottrai $130050$ da $65025$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{- 65025 + 40000}{8}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 65025$ e $40000$ .

$f (- \frac{255}{4}) = \frac{- 25025}{8}$

Passaggio 11.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{255}{4}) = - \frac{25025}{8}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $- \frac{25025}{8}$ .

$y = - \frac{25025}{8}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{2} + 255 x + 5000$ .

$(- \frac{255}{4}, - \frac{25025}{8})$ è un minimo locale

Passaggio 13