Calcolo Esempi

$4 x - 64 x^{- 3}$

Passaggio 1

Scrivi $4 x - 64 x^{- 3}$ come funzione.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 64 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$192 x^{- 4} + 4$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Passaggio 2.4.2.2

$192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{192}{x^{4}} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{192}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 4$ per $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

$- 768$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Passaggio 3.4.2.3

Somma $- \frac{768}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Passaggio 5

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 6

Nessun estremo locale

Passaggio 7