Calcolo Esempi

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $375$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $375$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $0.75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Passaggio 1.2.8

$\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 1.2.9

$0.75$ e $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $3$ per $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Somma $0$ e $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $2.25$ da $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $4$ da $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 1.3.4

Frazioni separate.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.3.5

Dividi $2.25$ per $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 1.3.6

$0.5625$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $0.5625$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ rispetto a $x$ è $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ come ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Passaggio 2.11

$- 0.5625$ e $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Sposta $x^{- \frac{5}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 2.12.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $375$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $375$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $0.75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Passaggio 4.1.2.8

$\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 4.1.2.9

$0.75$ e $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $3$ per $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 4.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Somma $0$ e $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.1.3.2

Scomponi $2.25$ da $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Passaggio 4.1.3.4

Frazioni separate.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.1.3.5

Dividi $2.25$ per $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.1.3.6

$0.5625$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $C (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$0.5625 = 0$

Passaggio 5.3

Poiché $0.5625 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{4}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt[4]{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{0.5625}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11