Calcolo Esempi

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 \cos (t)$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Passaggio 1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 \sin (t)$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 \cos (2 t)$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 5

Fattorizza $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $2$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riordina i termini.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $- 2 \sin (t) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- 2 \sin (t) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (t) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (t) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (t)$ per $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$t = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 7.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 7.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 7.2.7

La soluzione dell'equazione $t = \frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 8

Imposta $\sin (t) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $\sin (t) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $\sin (t) + 1 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (t) = - 1$

Passaggio 8.2.2

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$t = \arcsin (- 1)$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 8.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 8.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.2.6

La soluzione dell'equazione $t = - \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ vera.

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11.1.3

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 11.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 11.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 11.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 11.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 11.2

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Passaggio 12

$t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $t = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Passaggio 13.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 13.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 13.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.2

Per scrivere $\sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.4.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 13.2.5

La risposta finale è $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.5

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 15.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Passaggio 15.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 15.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 15.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 15.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 15.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Passaggio 15.1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2

Somma $\sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Passaggio 16

$t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $t = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 17.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Passaggio 17.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 17.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 17.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 17.2.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.2

Per scrivere $- \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.4.2

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.2.6

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda per $t = - \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 19.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 19.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 19.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Passaggio 19.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Passaggio 19.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Passaggio 19.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$0 - 4 \sin (- π)$

Passaggio 19.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$0 - 4 \sin (0)$

Passaggio 19.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 19.1.8

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 19.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 20

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 20.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 20.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1.1

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 20.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Passaggio 20.2.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Passaggio 20.2.2.1.4

Calcola $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Passaggio 20.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $0.29100006$ da $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Passaggio 20.2.2.3

La risposta finale è $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Passaggio 20.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ nella derivata prima $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Passaggio 20.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Passaggio 20.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Passaggio 20.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Passaggio 20.3.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 20.3.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Passaggio 20.3.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 20.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 20.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ nella derivata prima $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Passaggio 20.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.2.1.1

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Passaggio 20.4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Passaggio 20.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Passaggio 20.4.2.1.4

Calcola $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 20.4.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Passaggio 20.4.2.2

Sottrai $1.30728724$ da $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Passaggio 20.4.2.3

La risposta finale è $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Passaggio 20.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dall'intervallo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.1

Sostituisci la variabile $t$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Passaggio 20.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.2.1.1

Calcola $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Passaggio 20.5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Passaggio 20.5.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Passaggio 20.5.2.1.4

Calcola $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Passaggio 20.5.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Passaggio 20.5.2.2

Sottrai $0.29100006$ da $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Passaggio 20.5.2.3

La risposta finale è $1.22260492$ .

$1.22260492$

Passaggio 20.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dall'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.6.1

Sostituisci la variabile $t$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Passaggio 20.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.6.2.1.1

Calcola $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Passaggio 20.6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Passaggio 20.6.2.1.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Passaggio 20.6.2.1.4

Calcola $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Passaggio 20.6.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Passaggio 20.6.2.2

Somma $- 1.31397319$ e $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Passaggio 20.6.2.3

La risposta finale è $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Passaggio 20.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = - \frac{π}{2}$ , allora $t = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale.

$t = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 20.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = \frac{π}{6}$ , allora $t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale.

$t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 20.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = \frac{5 π}{6}$ , allora $t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale.

$t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 20.10

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = \frac{3 π}{2}$ , allora $t = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale.

$t = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 20.11

Questi sono gli estremi locali per $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ .

$t = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$t = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

$t = - \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$t = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

$t = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

$t = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 21